Question

設y=f（x）是二次函數,方程f（x）=0有兩個相等的實根，且f′（x）=2x+2.
（1）求y=f（x）的表達式；
（2）求y=f（x）的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積.
（3）若直線x=－t（0＜t＜1＝把y=f（x）的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積二等分，求t的值.

Answer 1

（1）f（x）=x²+2x+1.（2）（3）t=1－

（1）設f（x）=ax²+bx+c，則f′（x）=2ax+b，又已知f′（x）=2x+2
∴a=1，b="2.  " ∴f（x）=x²+2x+c  又方程f（x）=0有兩個相等實根，
∴判別式Δ=4－4c=0，即c="1. " 故f（x）=x²+2x+1.
（2）依題意，有所求面積=.
（3）依題意，有，
∴，－t³+t²－t+=t³－t²+t，2t³－6t²+6t－1=0，
∴2（t－1）³=－1，于是t=1－.