Question

如圖，已知點D（0，-2），過點D作拋物線C₁：x²=2py（p∈[1，4]的切線l，切點A在第二象限．
（1）求切點A的縱坐標；
（2）若離心率為的橢圓+=1（a＞b＞c）恰好經過A點，設切線l交橢圓的另一點為B，若設切線l，直線OA，OB的斜率為k，k₁，k₂，①試用斜率k表示k₁+k₂②當k₁+k₂取得最大值時求此時橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設切點A的坐標，得切線的方程，根據點D（0，-2）在l上，從而可求切點A的縱坐標；
（2）先根據及A（-2，2），化簡橢圓方程，設直線AB方程橢圓的方程，消去y，利用韋達定理可求斜率，利用函數的單調性，可求最值，從而可得橢圓的方程．
解答：解：（1）設切點A（x，y），依題意則有y=，
由切線l的斜率為k=，得l的方程為y=x-，
又點D（0，-2）在l上，
∴=2，即點A的縱坐標y=2；
（2）依題意可設直線AB方程為：y=kx-2=-；
由得
由（1）可得A（-2，2），將A代入可得b=，故橢圓的方程可簡化為；
聯立直線AB與橢圓的方程，消去y得：（4k⁴+k²）x²-16k³x-16=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=，x₁x₂=
①k₁+k₂=+=2k-2×=2k+2k³；
②∵k=[1，4]），∴k∈[-2，-1]，
∵f（k）=2k+2k³在[-2，-1]上為單調遞增函數，故當k=-1時，k₁+k₂取到最大值，此時P=4，
故橢圓的方程為．
點評：本題主要考查拋物線的切線方程，考查直線與橢圓的位置關系及利用函數的單調性求最值，屬于中檔題．