Question

在平面直角坐標系xOy中，已知點A(－1，1)，P是動點，且△POA的三邊所在直線的斜率滿足k_OP＋k_OA＝k_PA.

(1)求點P的軌跡C的方程；
(2)若Q是軌跡C上異于點P的一個點，且＝λ，直線OP與QA交于點M，問：是否存在點P，使得△PQA和△PAM的面積滿足S_△PQA＝2S_△PAM？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）y＝x²(x≠0且x≠－1)（2）(1，1)

(1)設(shè)點P(x，y)為所求軌跡上的任意一點，則由k_OP＋k_OA＝k_PA得，
整理得軌跡C的方程為y＝x²(x≠0且x≠－1)．

(2)設(shè)P(x₁，)，Q(x₂，，M(x₀，y₀)，
由＝λ可知直線PQ∥OA，則k_PQ＝k_OA，故，即x₂＋x₁＝－1，
由O、M、P三點共線可知，＝(x₀，y₀)與＝(x₁，)共線，
∴x₀－x₁y₀＝0，由(1)知x₁≠0，故y₀＝x₀x₁，
同理，由＝(x₀＋1，y₀－1)與＝(x₂＋1，－1)共線可知(x₀＋1)(－1)－(x₂＋1)(y₀－1)＝0，即(x₂＋1)[(x₀＋1)·(x₂－1)－(y₀－1)]＝0，
由(1)知x₂≠－1，故(x₀＋1)(x₂－1)－(y₀－1)＝0，
將y₀＝x₀x₁，x₂＝－1－x₁代入上式得(x₀＋1)(－2－x₁)－(x₀x₁－1)＝0，
整理得－2x₀(x₁＋1)＝x₁＋1，由x₁≠－1得x₀＝－，由S_△PQA＝2S_△PAM，得到QA＝2AM，
∵PQ∥OA，∴OP＝2OM，∴＝2，∴x₁＝1，∴P的坐標為(1，1)