Question

【題目】如圖，正三棱柱中為的中點。

（1）求證：；

（2）若點為四邊形內部及其邊界上的點，且三棱錐的體積為三棱柱體積的，試在圖中畫出點的軌跡，并說明理由。

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）取的中點，連接，由為正三角形可得，又，從而可得平面，所以．在正方形中可證得，然后根據線面垂直的判定定理得到平面，故得．（2）取中點，連接，則線段為點的運動軌跡，然后根據線面平行的性質可證得結論成立．

解法一：（1）證明：取的中點，連接，

∵平面，平面，

∴．

∵為正三角形，為的中點，

∴，

又∵平面，，

∴平面，

又平面，

∴

在正方形中，可得，

∴，

又∵，

∴，故，

又，平面，

∴平面，

∵平面，

∴．

（2）取中點，連接，則線段為點的運動軌跡．理由如下：

∵，平面，平面，

∴平面，

∴到平面的距離為．

∴．

故線段為點的運動軌跡．

解法二：（1）證明：取的中點，連接，

∵為正三角形，為的中點，

∴．

∵在正三棱柱中，平面平面，平面平面，平面，

∴平面，

∴．

在正方形中，因為，

∴，

又，

∴，

∴，

又，平面，

∴平面，

又，

∴．

（2）取中點，連接，則線段為點的運動軌跡．理由如下：

設三棱錐的高為，

依題意得，

∴．

∵分別為中點，

∴，

又平面，平面，

∴平面，

∴點到平面的距離為．

故線段為點的運動軌跡．