Question

現(xiàn)有下列命題：
①設a，b為正實數(shù)，若a²-b²=1，則a-b＜1；
②設

a

，

b

均為單位向量，若|

a

+

b

|＞1則θ∈[0，

2π

3

)；
③數(shù)列{n(n+4)(

2

3

)n}中的最大項是第4項；
④設函數(shù)f(x)=

lg|x-1|，x≠1 0，x=1

，則關于x的方程f²（x）+2f（x）=0有4個解．
其中的真命題有

①②③

．（寫出所有真命題的編號）．

Answer 1

分析：①將a²-b²=1，分解變形為（a+1）（a-1）=b²，即可證明a-1＜b，即a-b＜1
②根據(jù)向量模的計算公式，求出|

a

+

b

|＞1時，夾角θ的范圍，可判斷真假
③求數(shù)列的最大值，可通過做差或做商比較法判斷數(shù)列的單調(diào)性處理．進而判斷其真假
④根據(jù)函數(shù)f(x)=

lg|x-1|，x≠1 0，x=1

，及f²（x）+2f（x）=0解方程求出方程根的個數(shù)，可判斷其真假

解答：解：①若a²-b²=1，則a²-1=b²，
即（a+1）（a-1）=b²，
∵a+1＞a-1，
∴a-1＜b，即a-b＜1，①正確；
②若|

a

+

b

|＞1，則

a

2+

b

2+2

a

•

b

＞1，
即2+2cosθ＞1，cosθ＞-

1

2

，
又∵θ∈[0，π]，
∴θ∈[0，

2π

3

），②正確；
③由an=n（n+4）（

2

3

）ⁿ，
令

an+1

an

=

(n+1)(n+5)( 2 3 )n+1

(n)(n+4)( 2 3 )n

=

2

3

•

(n+1)(n+5)

(n)(n+4)

≥1，
則2（n+1）（n+5）≥3n（n+4），
即n²≤10，所以n＜4，
即n＜4時，a_n+1＞a_n，
當n≥4時，a_n+1＜a_n，
所以a₄最大，故③正確；
令f²（x）+2f（x）=0，
則f（x）=0，或f（x）=-2，
∵f(x)=

lg|x-1|，x≠1 0，x=1

，
∴當f（x）=0時，
x=1，或x=0，或x=2，
當f（x）=-2時，x=10.1或x=0.99，
故方程有5個解，故④錯誤
故答案為：①②③

點評：本題主要考查了不等式的證明方法，間接證明和直接證明的方法，放縮法和舉反例法證明不等式，演繹推理能力，有一定難度，屬中檔題