Question

（2012•眉山一模）設函數f（x）對其定義域內的任意實數x1與x2都有f(

x1+x2

2

)≥

f(x1)+f(x2)

2

，則稱函數f（x）為上凸函數．現有下列命題：
①f（x）=sinx，x∈[0，π]是上凸函數；
②f（x）=lnx（x＞0）是上凸函數；
③二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）是上凸函數的充要條件是a＞0；
④f（x）是上凸函數，若A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））是f（x）圖象上任意兩點，點C在線段AB上，且

AC

=λ

CB

，則f(

x1+λx2

1+λ

)≥

f(x1)+λf(x2)

1+λ

；
其中，正確命題的序號是

①②④

（寫出所有你認為正確命題的序號）．

Answer 1

分析：作圖可知①②正確，③不正確，對于④，因為f（x）上凸函數，則點C在點D的下方，點C的縱坐標為

f(x1)+λf(x2)

1+λ

，點D的坐標為(

x1+λx2

1+λ

，f(

x1+λx2

1+λ

))，故f(

x1+λx2

1+λ

)≥f(

x1+λx2

1+λ

)．

解答：解；作圖可知①②正確，③不正確
對于④，因為f（x）是上凸函數，則點C在點D的下方，點C的縱坐標為

f(x1)+λf(x2)

1+λ

，
點D的坐標為(

x1+λx2

1+λ

，f(

x1+λx2

1+λ

))，
于是得f(

x1+λx2

1+λ

)≥f(

x1+λx2

1+λ

)，即④正確．
綜上可得正確的有①②④
故答案為①②④

點評：本題考查命題真假的判斷與應用，解題的關鍵是熟練掌握一些常見函數的性質，注意數形結合思想的靈活運用，合理地進行等價轉化．