Question

如圖，已知橢圓的右焦點為F，過F的直線（非x軸）交橢圓于M、N兩點，右準線l交x軸于點K，左頂點為A．
（1）求證：KF平分∠MKN；
（2）直線AM、AN分別交準線l于點P、Q，設直線MN的傾斜角為θ，試用θ表示線段PQ的長度|PQ|，并求|PQ|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）法一：幾何法，分別過M和N點作準線的垂線，并設出對應的垂足，根據直角梯形列出比例關系，再由橢圓的第二定義，將到焦點的距離之比轉化到對應準線的距離之比，判斷出∠KMM₁=∠KNN₁，再由內錯角相等得到∠MKF=∠NKF，即得到證明；
法二：代數法，根據題意設直線MN的方程為x=my+1，再設出點M、N的坐標，聯立直線和橢圓的方程，消去x得到關于y的一個二次方程，根據韋達定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，再代入斜率公式，進行證明；
（2）由題意求出點A和右準線的方程，并設出四點M、N、P和Q的坐標，根據A，M，P三點共線得到對應的斜率相等，求出點P和Q的坐標，聯立直線和橢圓的方程，消去x得到關于y的一個二次方程，根據韋達定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，再代入兩點之間的距離公式，化簡后用m表示|PQ|，再把m用cotθ表示，利用三角恒等變換公式和θ∈（0，π），求出最小值．
解答：解：（1）法一：作MM₁⊥l于M₁，
NN₁⊥l于N₁，則，
由橢圓的第二定義，有，
∴，
∴∠KMM₁=∠KNN₁，即∠MKF=∠NKF，
∴KF平分∠MKN．
法二：設直線MN的方程為x=my+1，
設M、N的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由得，（3m²+4）y²+6my-9=0，
∴
設KM和KN的斜率分別為k₁，k₂，顯然只需證k₁+k₂=0即可．
∵K（4，0），∴
而x₂y₁+x₁y₂-4（y₁+y₂）=（my₂+1）y₁+（my₁+1）y₂-4（y₁+y₂）
=，
即k₁+k₂=0得證，故KF平分∠MKN．
（2）設M、N的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由題意知，A（-2，0），右準線的方程：x==4，
故令P（4，y_p），Q（4，y_q），
∵A，M，P三點共線，∴k_AP=k_AM，即，得y_p=，即P點為
由A，N，Q三點共線，同理可求出Q點為，
設直線MN的方程為x=my+1．由得，（3m²+4）y²+6my-9=0，
∴，

則
=
又∵直線MN的傾斜角為θ，則m=cotθ，θ∈（0，π），
∴，
∴時，|PQ|_min=6．
點評：本題主要考查了直線與橢圓的綜合問題，兩點間的距離公式等基礎知識，考查用代數方法研究圓錐曲線的性質和數形結合的數學思想，考查了學生解決問題的能力和運算能力．