Question

如圖，正三棱錐S-ABC的側面是邊長為a的正三角形，D是SA的中點，E是BC的中點，求△SDE繞直線SE旋轉一周所得到的旋轉體的體積．

Answer 1

分析：連接AE，說明ED⊥SA，作DF⊥SE，交SE于點F．所求的旋轉體的體積是以DF為底面半徑，分別以SF和EF為高的兩個圓錐的體積的和，求出DF，然后求出幾何體的體積．

解答：解：連接AE，因為△SDE和△ABC都是邊長為a的正三角形，并且SE和AE分別是它們的中線，
所以SE=AE，從而△SEA為等腰三角形，由于D是SA的中點，
所以ED⊥SA．作DF⊥SE，交SE于點F．考慮直角△SDE的面積，得到

1

2

SE•DF=

1

2

SD•DE，所以，DF=

SD•DE

SE

=

1 2 a•DE

SE

．易知，SE=

SB2-BE2

=

a2-( a 2 )2

=

3

2

a，
DE=

SE2-SD2

=

3 4 a2-( a 2 )2

=

2

2

a，所以，DF=

a

2

•

2 2 a

3 2 a

=

6

6

a．
所求的旋轉體的體積是以DF為底面半徑，分別以SF和EF為高的兩個圓錐的體積的和，即

1

3

π•(

6

6

a)2•SF+

1

3

π•(

6

6

a)2•EF=

1

3

π•(

6

6

a)2•SE=

1

3

π•

a2

6

•

3

2

a=

3

36

πa3．

點評：本題是基礎題，考查空間想象能力，圓錐的體積的求法，考查計算能力以及發現問題解決問題的能力．