Question

如圖，正三棱錐S-ABC中，側面SAB與底面ABC所成的二面角等于α，動點P在側面SAB內，PQ⊥底面ABC，垂足為Q，PQ=PS•sinα，則動點P的軌跡為（　　）

• A、線段
• B、圓
• C、一段圓弧
• D、一段拋物線

Answer 1

分析：構造一個直角三角形PRQ，使∠PRQ為側面SAB與底面ABC所成的二面角α，直角三角形PRQ中，sinα=

PQ

PR

，由已知得
sinα=

PQ

PS

，得到PS=PR，即點P到點S的距離等于點P到AB的距離，由拋物線的定義得出結論．

解答：解：如圖：過點P作AB得垂線段PR，連接RQ，則RQ是PR在面ABC內的射影，由三垂線定理得逆定理得，OR⊥AB，
∠PRQ為側面SAB與底面ABC所成的二面角α，直角三角形PRQ中，sinα=

PQ

PR

，又已知 PQ=PS•sinα，
∴sinα=

PQ

PS

，∴

PQ

PR

=

PQ

PS

，∴PS=PR，即點P到點S的距離等于點P到AB的距離，
根據拋物線的定義，點P在以點S為焦點，以AB為準線的拋物線上．又點P在側面SAB內，故點P的軌跡為
一段拋物線，故選 D．

點評：本題考查二面角的平面角的求法，直角三角形中的邊角關系，以及拋物線的定義得應用．