Question

已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線的距離為．設為直線上的點，過點作拋物線的兩條切線，其中為切點．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）當點為直線上的定點時，求直線的方程；
（Ⅲ）當點在直線上移動時，求的最小值．

Answer 1

(1)  (2)  (3)

解析試題分析： (1)利用點到直線的距離公式直接求解C的值，便可確定拋物線方程；（2）利用求導的思路確定拋物線的兩條切線，借助均過點P，得到直線方程；（3）通過直線與拋物線聯立，借助韋達定理和拋物線定義將進行轉化處理，通過參數的消減得到函數關系式是解題的關鍵，然后利用二次函數求最值，需注意變量的范圍.
試題解析：（1）依題意，解得（負根舍去）        （2分）
拋物線的方程為；                                         （4分）
（2）設點,，，由,即得. 
∴拋物線在點處的切線的方程為，即.  （5分）
∵， ∴ .   ∵點在切線上,  ∴.       ①
同理， . ② （6分）
綜合①、②得，點的坐標都滿足方程 . （7分）
∵經過兩點的直線是唯一的，∴直線 的方程為，即； （8分）
（3）由拋物線的定義可知， （9分）
所以聯立，消去得，
   （10分）
    （11分）
當時，取得最小值為                          （12分）
考點：拋物線的方程、定義、切線方程以及直線與拋物線的位置關系.