Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB＞1，點E在棱AB上移動，小螞蟻從點A沿長方體的表面爬到點C₁，所爬的最短路程為2

2

．
（1）求證：D₁E⊥A₁D；
（2）求AB的長度；
（3）在線段AB上是否存在點E，使得二面角D₁-EC-D的大小為

π

4

．若存在，確定點E的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AD₁，根據長方體的性質可知AE⊥平面AD₁，從而AD₁是ED₁在平面AD₁內的射影，根據三垂線定理可得結論；（2）根據四邊形ADD₁A是正方形，則小螞蟻從點A沿長方體的表面爬到點C₁可能有兩種途徑，然后比較兩個路程的大小從而求出AB的長；
（3）假設存在連接DE，過點D在平面ABCD內作DH⊥EC，連接D₁H，根據二面角平面角的定義可知∠D₁HD為二面角D₁-EC-D的平面角，在直角三角形EBC中求出BE的長即可求出所求．

解答：解：（1）證明：連接AD₁，由長方體的性質可知：
AE⊥平面AD₁，∴AD₁是ED₁在
平面AD₁內的射影．又∵AD=AA₁=1，
∴AD₁⊥A₁D
∴D₁E⊥A₁D₁（三垂線定理）

（2）設AB=x，∵四邊形ADD₁A是正方形，
∴小螞蟻從點A沿長方體的表面爬到
點C₁可能有兩種途徑，
如圖甲的最短路程為|AC₁|=

x2+4

如圖乙的最短路程為|AC₁=

(x+1)2+1

=

x2+2x+2

∵x＞1
∴x²+2x+2＞x²+2+2=x²+4
∴

x2+4

=2

2

∴x=2（9分）

（3）假設存在連接DE，設EB=y，過點D在平面ABCD內作DH⊥EC，連接D₁H，則∠D₁HD為二面角D₁-EC-D的平面角，
∴∠D₁HD=

π

4

，
∴DH=DD₁=1在R△EBC內，EC=

y2+1

，而EC•DH=DC•AD，
即存在點E，且了點B為

3

時，二面角D₁-EC-D的大小為

π

4

．

點評：本題主要考查了三垂線定理的應用，以及與二面角有關的立體幾何綜合題，同時考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．