Question

【題目】已知橢圓 的右焦點為F，過橢圓C中心的弦PQ長為2，且∠PFQ=90°，△PQF的面積為1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設A1、A2分別為橢圓C的左、右頂點，S為直線 上一動點，直線A1S交橢圓C于點M，直線A2S交橢圓于點N，設S1、S2分別為△A1SA2、△MSN的面積，求 的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）弦PQ過橢圓中心，且∠PFQ=90°，則c=丨OF丨= 丨PQ丨=1，
不妨設P（x0 ， y0）（x0 ， y0＞0），
∴，△PQF的面積= ×丨OF丨×2y0=y0=1，則x0=1，b=1，
a2=b2+c2=2，
∴橢圓方程為 +y2=1；
（Ⅱ）設S（2 ，t），直線A1S：x= y﹣ ，則 ，
整理（ +2）y2﹣ y=0，解得y1= ，
同理，設直線A2S：x= y+ ，
得（ +2）y2+ y=0，解得y1=﹣ ，
則 =丨 × 丨
≤ × = ，
當且僅當t2+9=3t2+3，即t=± 時取“=”
【解析】（Ⅰ）由c=丨OF丨= 丨PQ丨=1，根據三角形的面積公式，即可求得b的值，a2=b2+c2=2，即可求得橢圓方程；（Ⅱ）設S點坐標，求直線A1S及A2S代入橢圓方程，求得M和N點坐標，根據三角形的面積公式及基本不等式的性質，即可求得 的最大值．