Question

【題目】已知動點是圓： 上的任意一點，點與點的連線段的垂直平分線和相交于點.

（I）求點的軌跡方程；

（II）過坐標原點的直線交軌跡于點， 兩點，直線與坐標軸不重合. 是軌跡上的一點，若的面積是4，試問直線， 的斜率之積是否為定值，若是，求出此定值，否則，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 直線， 的斜率之積是定值

【解析】試題分析：（I）由題意得，利用橢圓的定義，得點的軌跡是以、為焦點的橢圓，進而得到橢圓的方程；

（II）設直線的方程為,聯立發出來，求解，設所在直線方程為，聯立橢圓方程得的坐標，再求得點到直線的距離，根據面積列出方程，得到的方程，即可求解的值.

試題解析：

（I）由題意， ，又∵

∴，

∴點的軌跡是以、為焦點的橢圓，其中，

∴橢圓的方程為.

（II）設直線的方程為,聯立，得

∴

設所在直線方程為，聯立橢圓方程得或，

點到直線的距離.

∴，

即，解得，

∴直線， 的斜率之積是定值