Question

【題目】已知函數（為自然對數的底數），.

（1）當時，求函數的極小值；

（2）若當時，關于的方程有且只有一個實數解，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）0（2）

【解析】

（1）當時，，， 令 ，可得，列表判斷兩邊的符號，根據極值的定義可得結果；（2）化簡，求得，，設，可得，討論的取值范圍，根據函數的單調性，結合零點存在定理即可篩選出符合題意的的取值范圍.

（1）當時，，，

令 則 列表如下：

		1
	單調遞減	極小值	單調遞增

所以.

（2）設，

，

設，，

由得， ，，在單調遞增，

即在單調遞增，，

①當，即時，時，，在單調遞增,

又，故當時，關于的方程有且只有一個實數解，符合題意.

②當，即時，由（1）可知，

所以，又

故，當時，，單調遞減，又，

故當時，，

在內，關于的方程有一個實數解1.

又時，，單調遞增，

且，令，

,,故在單調遞增，又

在單調遞增，故，故，

又，由零點存在定理可知，，

故在內，關于的方程有一個實數解.

又在內，關于的方程有一個實數解1，不合題意.

綜上，.