Question

如圖，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上頂點為A，Q為x軸正半軸上一點，P為橢圓上異于A的一點，且

AF

•

AQ

=0．
（1）若

AP

=λ

AQ

，求λ的值；
（2）若過A、Q、F三點的圓恰好與直線l：x+

3

y+3=0相切，求橢圓方程．

Answer 1

分析：（1）由橢圓離心率可知b=

3

c，進而根據(jù)

AF

•

AQ

=0．得AQ⊥AF，所以得到直線AQ的斜率，進而求得Q的坐標(biāo)，最后利用向量的坐標(biāo)表示進而可得答案．
（2）依題意可設(shè)QF的中點為M，則M（c，0），|

QF

|=4c，從而過A，Q、F三點的橢圓的圓心M（c，0）半徑為

1

2

|

OF

|=2c，又因此圓與l的相切，相切可知圓心到直線的距離等于半徑，建立等式可求得c，進而求得a和b．橢圓的方程可得．

解答：解：（1）令c=

a2-b2

由橢圓離心率e=

1

2

，可得a=2c，b=

3

c，…（1分）
則題意知A（0，b），F(xiàn)（-c，0），所以直線AF的斜率為

b

c

=

3

，
由

AF

•

AQ

=0．得AQ⊥AF，所以直線AQ的斜率為-

1

3

設(shè)Q(x1，0)，則KAQ=

b-0

0-x1

=-

1

3

所以x1=

3

b=3c，即Q(3c，0)…（3分）
又設(shè)P(x0，y0)，則

AP

=(x0，y0-b)，

AQ

=(3c，-b)
由

AP

=λ

AQ

，
得

x0=3λc y   0 -b=-λb

，即

x0=3λc y0=b-λb

，…（5分）
點P(3λc，b-λb)在橢圓上，所以

(3λc)2

a2

+

(b-λb2)

b2

=1，
將a=2c，b=

3

c代入上式，可得λ=0（舍）或λ=

8

13

，
所以λ的值為

8

13

．
（2）設(shè)QF的中點為M，則M（c，0），|

QF

|=4c，…（9分）
所以過A，Q、F三點的橢圓的圓心M（c，0）半徑為

1

2

|

OF

|=2c…（9分）
又因此圓與l的相切，所以

|c+3|

12+(3)2

=2c，
解得c=1，所以a=2，b=

3

，
橢圓方程

x2

4

+

y2

3

=1…（12分）

點評：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．注意圓錐曲線之間相交和相切的關(guān)系，根據(jù)這些關(guān)系找到解決問題的途徑．