Question

（2010•武清區一模）如圖，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁（-1，0）、
F₂（1，0），M、N是直線x=a²上的兩個動點，且

F1M

•

F2N

=0．
（1）設曲線C是以MN為直徑的圓，試判斷原點O與圓C的位置關系；
（2）若以MN為直徑的圓中，最小圓的半徑為2

2

，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）設出M，N的坐標，利用

F1M

•

F2N

=0建立等式，然后利用|OC|與圓的半徑進行比較，從而可判定原點O與圓C的位置關系；
（2）先表示出半徑，然后消去一變量，利用基本不等式求出最值，根據最值建立等式可求出a的值，從而求出橢圓的方程．

解答：解：（1）設M（a²，y₁）、N（a²，y₂），
則

F1M

=（1+a²，y₁），

F2N

=（a²-1，y₂），
∵

F1M

•

F2N

=0∴（1+a²，y₁）（a²-1，y₂）=0，
∴y₁y₂+a⁴=1  …3分
圓心C（a²，

y1+y2

2

），半徑r=

|y1-y2|

2

…5分
∴|OC|²=a⁴+

(y1+y2)2

4

，r2=

(y1-y2)2

4

∴|OC|²-r²=y₁y₂+a⁴=1＞0…6分
∴|OC|＞r∴原點O在圓C外  …7分
（2）∵y₁y₂+a⁴=1∴y2=

1-a4

y1

∴r=

1

2

|y1-y2|=

1

2

|y1-

1-a4

y1

|=

1

2

|y1+

a4-1

y1

|…9分
∵c=1∴a＞1∴a⁴＞1∴a⁴-1＞0 …10分
∴r=

1

2

(|y1|+

a4-1

|y1|

)≥

a4-1

當且僅當

y

2 1

=a4-1時等號成立  …12分
∴

a4-1

=2

2

∴a²=3  …13分
∵c=1∴b²=2
∴所求橢圓的方程為

x2

3

+

y2

2

=1…14分．

點評：本題主要考查了點與圓的位置關系，以及圓錐曲線的綜合應用和不等式求最值，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．