Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AB=10，O為BC上一點，以O為圓心，OB為半徑作半圓與BC邊、AB邊分別交于點D、E，連接DE。

（1）若BD=6，求線段DE的長；
（2）過點E作半圓O的切線，交AC于點F，
證明：AF=EF。

Answer 1

（Ⅰ）DE＝＝．  （Ⅱ）見解析

本試題主要是考查了平面幾何中圓的性質和三角形相似的綜合運用。利用
（1）因為BD=6，利用相似比線段DE的長；
（2）過點E作半圓O的切線，交AC于點F，結合弦切線定理，表示出角的關系，以及三角形的形狀，進而得證。
解：（Ⅰ）∵BD是直徑，∴∠DEB＝90º，∴＝＝，∵BD＝6，∴BE＝，
在Rt△BDE中，DE＝＝．           …5分
（Ⅱ）連結OE，

∵EF為切線，∴∠OEF＝90º，∴∠AEF＋∠OEB＝90º，又∵∠C＝90º，∴∠A＋∠B＝90º，又∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠B，∴∠AEF＝∠A，∴AF＝EF．