Question

已知函數(shù)f（x）=a^x，g（x）=a^2x+m，其中m＞0，a＞0且a≠1．當x∈[-1，1]時，y=f（x）的最大值與最小值之和為

5

2

．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若a＞1，記函數(shù)h（x）=g（x）-2mf（x），求當x∈[0，1]時，h（x）的最小值H（m）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)x∈[-1，1]時，y=f（x）的最大值與最小值之和為

5

2

．建立方程關(guān)系即可求a的值；
（Ⅱ）求出函數(shù)h（x）的表達式，利用換元法求函數(shù)的最值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）在[-1，1]上為單調(diào)函數(shù)，f（x）的最大值與最小值之和為a+a-1=

5

2

，
∴a=2或

1

2

．
（Ⅱ）h（x）=2^2x+m-2m•2^x．
即h（x）=（2^x）²-2m•2^x+m，
令t=2^x，
∵x∈[0，1]時，
∴t∈[1，2]，
h（x）=t²-2mt+m，對稱軸為t=m
當0＜m＜1時，H（m）=h（1）=-m+1；
當1≤m≤2時，H（m）=h（m）=-m²+m；
當m＞2時，H（m）=h（2）=-3m+4．

綜上所述，H(m)=

-m+1 ，(0＜m＜1) -m2+m， (1≤m≤2) -3m+4，  (m＞2)

．

點評：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，要求熟練掌握指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．