Question

設f（x）=x³-

x2

2

-2x+5
（1）求函數f（x）的極值；
（2）當x∈[-1，2]時，f（x）＜m恒成立，求實數m的取值范圍..

Answer 1

分析：（1）先利用導數求函數f（x）=x³-

x2

2

-2x+5的單調區間，從而確定函數的極值；
（2）恒成立問題可轉化成f（x）_max＜m即可．函數在[-1，2]上的最大值，利用極值與端點的函數值可以確定．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-x-2=0，解得x=1，-

2

3

，
∵函數在（-∞，-

2

3

），（1，+∞）上單調增，在（-

2

3

，1）上單調減
∴函數的極大值為f（-

2

3

）=5

22

27

，極小值f（1）=3

1

2

，
（2）∵f（-1）=5

1

2

，f（-

2

3

）=5

22

27

，f（1）=3

1

2

，f（2）=7；
即f（x）_max=7，
要使當x∈[-1，2]時，f（x）＜m恒成立，只需f（x）_max＜m即可
故實數m的取值范圍為（7，+∞）

點評：本題以函數為載體，考查函數的單調性，考查函數的極值，同時考查了恒成立問題的處理，注意利用好導數工具．