Question

（理科）設(shè)點(diǎn)A（1，2），B（2，1）如果直線ax+by=1與線段AB有一個(gè)公共點(diǎn)，那么a²+b²（　　）

• A．最大值為

  1

  5

• B．最大值為

  2

  9

• C．最小值為

  1

  5

• D．最小值為

  2

  9

Answer 1

分析：由題意得：點(diǎn)A（1，2），B（2，1）在直線ax+by=1的兩側(cè)（或過(guò)A，或過(guò)B），那么把這兩個(gè)點(diǎn)代入ax+by=1，它們的符號(hào)相反，乘積小于等于0，即可得出關(guān)于a，b的不等關(guān)系，畫(huà)出此不等關(guān)系表示的平面區(qū)域，結(jié)合線性規(guī)劃思想求出a²+b²的最小值．

解答：解：∵直線ax+by=1與線段AB有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴點(diǎn)A（1，2），B（2，1）在直線ax+by=1的兩側(cè)（或過(guò)A，或過(guò)B），
∴（a+2b-1）（2a+b-1）≤0，
畫(huà)出它們表示的平面區(qū)域，如圖所示．
a²+b²表示原點(diǎn)到區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的距離的平方，
由圖可知，當(dāng)原點(diǎn)O到直線2a+b-1=0的距離為原點(diǎn)到區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的距離的最小值，即

1

5

∴a²+b²的最小值為

1

5

故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是寫(xiě)出約束條件，畫(huà)出可行域，屬于中檔題．