Question

隨著環(huán)保理念的深入，用建筑鋼材余料創(chuàng)作城市雕塑逐漸流行．下圖是其中一個(gè)抽象派雕塑的設(shè)計(jì)圖．圖中α表示水平地面，線段AB表示的鋼管固定在α上；為了美感，需在焊接時(shí)保證：線段AC表示的鋼管垂直于α，BD⊥AB，且保持BD與AC異面．
（1）若收集到的余料長(zhǎng)度如下：AC=BD=24（單位長(zhǎng)度），AB=7，CD=25，按現(xiàn)在手中的材料，求BD與α應(yīng)成的角；
（2）設(shè)計(jì)師想在AB，CD中點(diǎn)M，N處再焊接一根連接管，然后掛一個(gè)與AC，BD同時(shí)平
行的平面板裝飾物．但他擔(dān)心此設(shè)計(jì)不一定能實(shí)現(xiàn)．請(qǐng)你替他打消疑慮：無(wú)論AB，CD多長(zhǎng)，焊接角度怎樣，一定存在一個(gè)過(guò)MN的平面與AC，BD同時(shí)平行（即證明向量與，共面，寫出證明過(guò)程）；
（3）如果事先能收集確定的材料只有AC=BD=24，請(qǐng)?zhí)嬖O(shè)計(jì)師打消另一個(gè)疑慮：即MN要準(zhǔn)備多長(zhǎng)不用視AB，CD長(zhǎng)度而定，只與θ有關(guān)（θ為設(shè)計(jì)的BD與α所成的角），寫出MN與θ的關(guān)系式，并幫他算出無(wú)論如何設(shè)計(jì)MN都一定夠用的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)D在α上的射影為H，過(guò)D作DK⊥AC于K，可得AHDK為矩形，計(jì)算DH，即可求得BD與α所成的角是30°．
（2）由共面向量的判定定理得到量與，共面，即可得到結(jié)論；
（3）由，求模長(zhǎng)，即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）設(shè)D在α上的射影為H

∵AC⊥α，DH⊥α，∴AC∥∥DH，∴AC，DH共面，
∴過(guò)D作DK⊥AC于K，
∴AHDK為矩形，
設(shè)DH=h，則（AC-h）²+AH²=CD²，①
由三垂線定理易知BH⊥AB
∴AH²=AB²+BH²=AB²+（BD²-h²）②
將②代入①，得：（24-h）²+7²+（24²-h²）=25²，解得h=12，
于是sin∠DBH=，
∴∠DBH=30°，即BD與α所成的角是30°．
（2）由向量加法的三角形法則，，
兩式相加即得．
∴由共面向量的判定定理得到量與，共面．
從而一定存在一個(gè)過(guò)MN的平面與AC，BD同時(shí)平行
（3）∵
∴=288（1+sinθ）（單位長(zhǎng)度）
∵θ∈（0，），
∴，即MN準(zhǔn)備28（單位長(zhǎng)度）就一定夠用．
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．