Question

隨著環保理念的深入，用建筑鋼材余料創作城市雕塑逐漸流行．如圖是其中一個抽象派雕塑的設計圖．圖中α表示水平地面．線段AB表示的鋼管固定在α上；為了美感，需在焊接時保證：線段AC表示的鋼管垂直于α，BD⊥AB，且保持BD與AC異面．若收集到的余料長度如下：AC=BD=24（單位長度），AB=7，CD=25，按現在手中的材料和設計要求，求BD與α應成的角．

Answer 1

分析：設D在α上的射影為H，則可得AC，DH共面，過D作DK⊥AC于K，則AHDK為矩形，從而可求DH，即可求得BD與α應成的角．

解答：解：設D在α上的射影為H
∵AC⊥α，DH⊥α，∴AC∥DH，

∴AC，DH共面，
過D作DK⊥AC于K，則AHDK為矩形，…..（4分）
設DH=h，則（AC-h）²+AH²=CD²，①…..（6分）
由三垂線定理易知BH⊥AB，
∴AH²=AB²+BH²=AB²+（BD²-h²）②…..（8分）
將②代入①，得：（24-h）²+7²+（24²-h²）=25²，解得h=12，…..（10分）
∴sin∠DBH=

1

2

，
∴∠DBH=30°，即BD與α所成的角是30°．…..（12分）

點評：本題考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．