Question

如圖所示，已知A，B，C是圓O上三個點，AB弧等于BC弧，D為弧AC上一點，過點A做圓O的切線交BD延長線于E
（1）求證：AB平分∠CAE；
（2）若AD•BE=2

6

，∠ADE=30°，求△ABE的面積．

Answer 1

分析：（1）根據AB弧等于BC弧得∠BAC=∠BCA，再由弦切角定理得到∠EAB=∠BCA，所以∠EAB=∠BAC，即AB平分∠CAE；
（2）由弦切角定理得到∠EAB=∠BDA，結合∠AEB=∠DEA得到△AEB∽△DEA，可得AB•AE=AD•BE=2

6

，再根據∠EAB=∠ADE=30°，利用三角形的面積公式加以計算，即可得到△ABE的面積．

解答：解：（1）∵⊙O中，AB弧等于BC弧，∴∠BAC=∠BCA，
又∵AE切于⊙O點A，∴∠EAB=∠BCA，
因此，∠EAB=∠BAC，即AB平分∠CAE；
（2）∵AE切于⊙O點A，∴∠EAB=∠BDA，
又∵∠AEB=∠DEA，
∴△AEB∽△DEA，可得

AD

AB

=

AE

BE

，得AB•AE=AD•BE=2

6

，
∵∠EAB=∠ADE=30°，
∴△ABE的面積S=

1

2

AB•AEsin∠EAB=

1

2

×2

6

×

1

2

=

6

2

．

點評：本題給出圓的切線，在已知弧相等的情況下證明AB平分∠CAE，并求三角形的面積．著重考查了弦切角定理、圓周角定理、相似三角形的性質與判定和三角形的面積公式等知識，屬于中檔題．