Question

己知。
（Ⅰ）若a=-1，函數在其定義域內是增函數，求b的取值范圍；
（Ⅱ）當a=1，b=-1時，證明函數只有一個零點；
（Ⅲ）的圖象與x軸交于兩點，AB中點為，求證：。

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，，

∴
即對恒成立，
∴只需，
∵x>0，
∴
當且僅當時，等號成立，
∴
∴
（Ⅱ）當時，，
其定義域為
∴，
∵x>0，
∴當0<x<1時，0；
當x>1時，；
∴
∴，
，
∴函數只有一個零點。
（Ⅲ），
兩式相減得

由及，得

           ，
令且，
，
∴
∴，
，
∴。