Question

【題目】已知函數(shù)．

(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求實(shí)數(shù)的值；

(2)討論函數(shù)的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

【解析】分析：（1）現(xiàn)求出導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，即可求解實(shí)數(shù)的值；

（2）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，分類討論，即可求得哈市的單調(diào)性．

詳解：(1)解：f(x)的定義域?yàn)閧x|x>0}． ．

根據(jù)題意，有f′(1)＝－2，所以2a2－a－3＝0，解得a＝－1或a＝.

(2)解：　

當(dāng)a>0時(shí)，因?yàn)閤>0，由f′(x)>0得(x－a)(x＋2a)>0，解得x>a；由f′(x)<0得(x－a)(x＋2a)<0，解得0<x<a.

所以函數(shù)f(x)在(a，)上單調(diào)遞增，在(0，a)上單調(diào)遞減．

當(dāng)a<0時(shí)，因?yàn)閤>0，由f′(x)>0得(x－a)(x＋2a)>0，解得x>－2a；

由f′(x)<0得(x－a)(x＋2a)<0，解得0<x<－2a

所以函數(shù)f(x)在(0，－2a)上單調(diào)遞減，在(－2a，)上單調(diào)遞增．.

所以：當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(a，)上單調(diào)遞增，在(0，a)上單調(diào)遞減．當(dāng)a<0時(shí)，所以函數(shù)f(x)在(0，－2a)上單調(diào)遞減，在(－2a，)上單調(diào)遞增.