Question

（2013•揭陽一模）下列函數在其定義域內，既是奇函數又存在零點的是（　�。�

A．f（x）=e^x-1

B．f（x）=x+x^-1

C．f（x）=x-x^-1

D．f（x）=-|sinx|

Answer 1

分析：先判斷函數的奇偶性，再判斷函數的零點情況，從而得出結論．

解答：解：由于函數f（x）=e^x-1，f（-x）=e^-x+1≠-f（x），故函數不是奇函數，故排除A．
由于函數f（x）=x+x^-1 滿足f（-x）=-x+（-x）^-1-（x-x^-1）=-f（x），是奇函數，
但方程f（x）=0無解，故不存在零點，故排除B．
由于函數 f（x）=x-x^-1是 滿足f（-x）=-x-（-x）^-1=-（x-

1

x

）=-f（x），是奇函數，
且由f（x）=0 解得x=1，故存在零點x=1，故C滿足條件．
由于函數 f（x）=-|sinx|，滿足f（-x）=-|sin（-x）|=-|sinx|=f（x），是偶函數，不是奇函數，故排除D，
故選C．

點評：本題主要考查函數零點的定義和判斷，函數的奇偶性的判斷，屬于中檔題．