Question

設S_n是等差數列{a_n}的前n項和，已知S₃，S₄的等比中項為S₅; S₃，S₄的等差中項為1，求數列{a_n}的通項公式.

Answer 1

a_n=1或a_n=

方法一 設等差數列{a_n}的首項a₁=a，公差為d，
則S_n=na+d，依題意，有

整理得
∴a=1，d=0或a=4，d=-.
∴a_n=1或a_n=，
經檢驗，a_n=1和a_n=均合題意.
∴所求等差數列的通項公式為a_n=1或a_n=.
方法二 因S_n是等差數列的前n項和，易知數列是等差數列.依題意得
解得或
由此得a₄=S₄-S₃=1，a₅=S₅-S₄=1，
或a₄=-，a₅=-，
∴d=0或d=-.
∴a_n=a₄+（n-4）×0=1
或a_n=a₄+（n-4）×(-)=-n.
故所求等差數列的通項公式a_n=1或a_n=-n.