Question

已知橢圓C的中心為平面直角坐標系xOy的原點，焦點在x軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若P為橢圓C上的動點，M為過P且垂直于x軸的直線上的一點，＝λ，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

Answer 1

（1）＝1（2）①當λ＝時，軌跡是兩條平行于x軸的線段．②當λ≠時，當0<λ<時，點M的軌跡為中心在原點、實軸在y軸上的雙曲線滿足－4≤x≤4的部分；當<λ<1時，點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓滿足－4≤x≤4的部分；當λ≥1時，點M的軌跡為中心在原點，長軸在x軸上的橢圓．

(1)設橢圓長半軸長及半焦距分別為a，c，由已知得解得又∵b²＝a²－c²，∴b＝， 所以橢圓C的方程為＝1.
(2)設M(x，y)，其中x∈[－4,4]，由已知＝λ²及點P在橢圓C上可得＝λ²，整理得(16λ²－9)x²＋16λ²y²＝112，其中x∈[－4,4]．
①當λ＝時，化簡得9y²＝112，所以點M的軌跡方程為y＝± (－4≤x≤4)．軌跡是兩條平行于x軸的線段．
②當λ≠時，方程變形為＝1，其中x∈[－4,4]．當0<λ<時，點M的軌跡為中心在原點、實軸在y軸上的雙曲線滿足－4≤x≤4的部分；當<λ<1時，點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓滿足－4≤x≤4的部分；當λ≥1時，點M的軌跡為中心在原點，長軸在x軸上的橢圓