Question

如圖，四棱錐A-BCDE中，底面BCDE為矩形，側面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CD=

2

，AB=AC，CE與平面ABE所成的角為45°．
（1）證明：AD⊥CE；
（2）求二面角A-CE-B的正切值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質

專題：空間角

分析：（1）根據線面垂直的性質，即可證明：AD⊥CE；
（2）求出二面角的平面角，即可求二面角A-CE-B的正切值．

解答： 證明：（1）如圖，取BC的中點H，連接HD交CE于點P，
連接 AH、AP．
∵AB=AC，
∴AH⊥BC
又∵平面ABC⊥平面BCDE，
∴AH⊥平面BCDE，
∴AH⊥CE，
又∵

HC

CD

=

CD

DE

=

1

2

，
∴Rt△HCD∽Rt△CDE
∴∠CDH=∠CED，
∴HD⊥CE
∴CE⊥平面AHD
∴AD⊥CE．
（2）由（1）CE⊥平面AHD，∴AP⊥CE，
又HD⊥CE
∴∠APH就是二面角A-CE-B 的平面角，
過點C作CG⊥AB，垂足為G，連接CG、EG．
∵BE⊥BC，且BE⊥AH，
∴BE⊥平面ABC，
∴BE⊥CG，
∴CG⊥平面ABE，
∴∠CEG就是CE與平面ABE所成的角，即∠CEG=45°，
又CE=

6

，∴CG=EG=

3

．
又BC=2，∴∠ABC=60°，
∴AB=BC=AC=2，
∴AH=

3

又HD=

3

，∴HP=

CH2

HD

=

3

3

，
∴tan∠APH=

AH

HP

=3．

點評：本題主要考查空間直線垂直的證明，以及二面角大小的求解，考查學生的運算推理能力．