Question

設奇函數f（x）定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上，f（x）在（0，+∞）上為增函數，且f（1）=0，則不等式

3f(x)-2f(-x)

5x

＜0的解集為（　　）

• A、（-1，0）∪（1，+∞）
• B、（-∞，-1）∪（0，1）
• C、（-∞，-1）∪（1，+∞）
• D、（-1，0）∪（0，1）

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合

專題：數形結合,函數思想,函數的性質及應用

分析：根據已給的函數性質，結合奇函數的圖象關于原點對稱，可畫出其圖象，注意過點（1，0）和（-1，0），且在（-∞，0）和（0，+∞）上有相同的單調性，再將要解的不等式據函數性質化簡為xf（x）＜0，據圖可得不等式的解集．

解答： 解：∵奇函數f（x）定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上，在（0，+∞）上為增函數，且f（1）=0，
∴函數f（x）的關于原點對稱，且在（-∞，0）上也是增函數，過點（-1，0），所以可將函數f（x）的圖象畫出，大致如下

∵f（-x）=-f（x），∴不等式

3f(x)-2f(-x)

5x

＜0可化為

f(x)

x

＜0，即xf（x）＜0，不等式的解集即為自變量與函數值異號的x的范圍，
據圖象可知x∈（-1，0）∪（0，1）．
故選D

點評：此題考查了抽象函數的奇偶性與單調性，解題抓住兩點：①抽象函數直觀化，即借助于圖象表現其性質，借助于圖象求解；②函數的奇偶性與單調性的關系，奇函數在關于原點對稱的區間上具有相同的單調性，偶函數的單調性則相反．