Question

在棱長為2的正方體中，設是棱的中點.

⑴ 求證：；
⑵ 求證：平面；
⑶ 求三棱錐的體積.

Answer 1

⑴連接BD，AE. 故，因底面ABCD，故，故平面故 ⑵連接，設，連接，則為中點，而為的中點，則故平面 ⑶

試題分析：（1）連接BD，AE.  因四邊形ABCD為正方形，故，
因底面ABCD，面ABCD，故，又，
故平面，平面，故.
⑵. 連接，設，連接，
則為中點，而為的中點，故為三角形的中位線，
，平面，平面，故平面.
⑶. 由⑵知，點A到平面的距離等于C到平面的距離，故三棱錐的體積，而，三棱錐的體積為.
點評：要證明線面平行常借助于平面外一直線與平面內一直線平行；線面的垂直關系中常用的思路是線線垂直與線面垂直的互相轉化；第三問求三棱錐體積時采用等體積法的思路轉化底面和頂點，是底面積和高都容易求出