Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓： 的離心率，且橢圓上一點到點的距離的最大值為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設， 為拋物線： 上一動點，過點作拋物線的切線交橢圓于兩點，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：

(1)利用題意求解橢圓的基本量可得橢圓的方程是.

(2)由題意可得面積的函數解析式： .

當時，等號成立，經檢驗此時，滿足題意.即面積的最大值為.

試題解析：

（Ⅰ）因為，所以，則橢圓方程為，即.

設，則.

當時， 有最大值為. 解得，則.

所以橢圓的方程是.

（Ⅱ）設曲線： 上的點，因為，

所以直線的方程為，即，代入橢圓方程得

，則有.

設，則， .

所以.

設點到直線的距離為，則. 所以的面積

.

當時，等號成立，經檢驗此時，滿足題意.

綜上， 面積的最大值為.