Question

如圖，E是平面ABCD外一點，AE⊥平面CDE．若四邊形ABCD是正方形，M，N分別是AE，BC的中點．
（Ⅰ）求證：平面ABCD⊥平面ADE；
（Ⅱ）求證：MN∥平面CDE；
（Ⅲ）若二面角B-CD-E的平面角的大小為30°，求BD與平面AEC所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）先根據線面垂直的判定定理證明出CD⊥平面ADE，進而根據面面垂直的判定證明出平面ABCD⊥平面ADE．
（2）作AD的中點F，連結NF，MF，先證明出平面MNF∥平面CDE，進而根據面面平行的性質證明出MN∥平面CDE．
（3）過D作DG⊥CE，連結BD交AC于O，連結OG，作出所求二面角的平面角，進而根據已知條件求得CE，DG，OD，求得答案．

解答： （1）證明：∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，
∴AE⊥CD，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD⊥AD，
∵AD∩AE=A，AD?平面ADE，AE?平面ADE，
∴CD⊥平面ADE，
∵CD?平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面ADE．
（2）作AD的中點F，連結NF，MF，
則NF∥CD，MF∥DE，
∵NF?平面CDE，MF?平面CDE，CD?平面CDE，MF平面CDE，
∴NF∥平面CDE，MF平面CDE，
∵NF=MF=F，NF?平面MNF，MF?平面MNF，
∴平面MNF∥平面CDE，
∵MN?平面MNF，
∴MN∥平面CDE．
（3）由（1）知CD⊥AD，CD⊥DE，
∴∠ADE為二面角B-CD-E的平面角，即∠ADE=30°，
設AD=2，則AE=1，DE=

3

，
過D作DG⊥CE，連結BD交AC于O，連結OG，
∵AE⊥平面CDE，DG?平面CDE，
∴DG⊥AE，
∵AE∩CE=E，AE?平面ACE，CE?平面ACE，
∴DG⊥平面ACE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵DG⊥平面ACE，
∴OG⊥AC，
∴∠GOD為BD與平面AEC所成角的平面角，
CE=

3+4

=

7

，
DG=

CD•DE

CE

=

2• 3

7

，OD=

BD

2

=

2

，
∴sin∠GOD=

DG

OD

=

2 3

7• 2

=

42

7

．

點評：本題主要考查了線面平行，面面垂直的判定，及直線與平面所成的角，面面成角的計算．考查了學生空間觀察能力和計算能力．