Question

【題目】已知函數.

（1）證明：對任意的，函數的圖像與直線最多有一個交點；

（2）設函數，若函數與函數的圖像至少有一個交點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：兩個函數圖象的交點個數問題等價轉化后為方程的解的個數討論問題，針對參數b和兩種情況進行討論，研究圖象的交點個數；當研究對數方程時，利用同底對數相等，只需真數大于零且相等，令轉化為二次方程的根的分布問題，根據判別式等要求，列不等式求解.

試題解析：

（1）證明：原問題等價于解的討論.

因為，即.

當時，方程無解，即兩圖像無交點；

當時，方程有一解，即兩圖像有一個交點，得證.

（2）函數與函數的圖像至少有一個交點，等價于方程

至少有一個解.即.

設，即方程至少有一個正解.

當時，即

∵ ∴不符合題意

當時，方程有一個正解，符合題意.

當時，即.此時方程有兩個不同的正解.

綜上所述：實數的取值范圍是.

轉化成.利用函數單調性也可以處理.