Question

如圖，已知橢圓E：

x2

100

+

y2

25

=1的上頂點為A，直線y=-4交橢圓E于點B，C（點B在點C的左側），點P在橢圓E上．
（1）若點P的坐標為（6，4），求四邊形ABCP的面積；
（2）若四邊形ABCP為梯形，求點P的坐標；
（3）若

BP

=m•

BA

+n•

BC

（m，n為實數），求m+n的最大值．

Answer 1

分析：（1）先求B、C的坐標，再利用四邊形ABCP的面積為三角形與梯形面積的和，即可得到結論；
（2）因為ABCP為梯形分情況討論：①AP平行與BC；②AB平行于CP，則k_AB=k_CP，求出直線CP的方程，與橢圓方程聯立，即可求得P的坐標；
（3）設P（x，y），根據

BP

=m•

BA

+n•

BC

（m，n為實數），可得x=6m+12n-6，y=9m-4，進而可得m+n，利用三角換元，可求m+n的最大值．

解答：解：（1）將y=-4代入橢圓E：

x2

100

+

y2

25

=1，可得x=±6，∴B（-6，-4），C（6，-4）
∴四邊形ABCP的面積為三角形與梯形面積的和
∴S_{四邊形ABCP}=

6×(4+5)

2

+

6×(8+9)

2

=78
（2）因為ABCP為梯形分情況討論
①AP平行與BC，則y=5與A重合，所以舍；
②AB平行于CP，則k_AB=

5-(-4)

0-(-6)

=

3

2

=k_CP，
設直線CP的方程為y=

3

2

x+C，代入（6，-4）可得C=-13
∴直線CP的方程為y=

3

2

x-13，
與橢圓E：

x2

100

+

y2

25

=1，聯立消元可得5x²-78x+288=0
∴x=6或

48

5

代入直線CP的方程為y=

3

2

x-13，可得y=-4或

7

5

∴P（

48

5

，

7

5

）；
（3）設P（x，y），∵

BP

=m•

BA

+n•

BC

（m，n為實數），
∴（x+6，y+4）=m（6，9）+n（12，0）=（6m+12n，9m）
∴x=6m+12n-6，y=9m-4
∴m=

1

9

y+

4

9

，n=

1

12

x-

y

18

+

5

18

∴m+n=

3x-2y+26

36

令x=10cosθ，y=5sinθ，∴m+n=

5

6

cosθ-

5

18

sinθ+

13

18

=

5 10

18

cos（θ+α）+

13

18

，所以最大值為

5 10

18

+

13

18

，
∴m+n的最大值為

5 10

18

+

13

18

．

點評：本題考查四邊形面積的計算，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，解題的關鍵是確定坐標之間的關系，屬于中檔題．