Question

如圖，已知橢圓E：的離心率是，P₁、P₂是橢圓E的長軸的兩個端點（P₂位于P₁右側），點F是橢圓E的右焦點．點Q是x軸上位于P₂右側的一點，且滿足．
（Ⅰ） 求橢圓E的方程以及點Q的坐標；
（Ⅱ） 過點Q的動直線l交橢圓E于A、B兩點，連結AF并延長交橢圓于點C，連結BF并延長交橢圓于點D．
①求證：B、C關于x軸對稱；
②當四邊形ABCD的面積取得最大值時，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設點F（c，0），Q（x，0）（x＞a），由，得，依題意|FQ|=1，即，再由離心率，聯立即可解得a，b，c，及點Q坐標；
（Ⅱ）①設直線l的方程為x=my+2，代入橢圓E的方程可得（2+m²）y²+4my+2=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），點B關于x軸的對稱點B₁（x₂，-y₂），只需證明B₁即為點C，可證A、F、B₁三點共線，根據斜率相等及韋達定理即可證明；②由①得B、C關于x軸對稱，同理A、D關于x軸對稱，易知四邊形ABCD是一個等腰梯形，從而四邊形ABCD的面積S=|x₁-x₂|•（|y₁|+|y₂|）=|m|•|y₁-y₂|•|y₁+y₂|，代入韋達定理可得關于m的函數，通過換元借助導數可求得S的最大值及相應的m值，從而可得直線方程；
解答：解：（Ⅰ）設點F（c，0），Q（x，0）（x＞a）．

由，
可得，解得．
依題意|FQ|=1，即．
又因為，所以．
故橢圓的方程是，點Q的坐標是（2，0）．        
（Ⅱ）①設直線l的方程為x=my+2，代入橢圓E的方程可得（2+m²）y²+4my+2=0，
依題意，△=（4m）²-8（2+m²）=8（m²-2）＞0，m²＞2．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，．（*）
點B關于x軸的對稱點B₁（x₂，-y₂），
則A、F、B₁三點共線等價于，
由（*）可知上述關系成立．
因此，點C即是點B₁，這說明B、C關于x軸對稱．
②由①得B、C關于x軸對稱，同理，A、D關于x軸對稱．
所以，四邊形ABCD是一個等腰梯形，
則四邊形ABCD的面積S=|x₁-x₂|•（|y₁|+|y₂|）=|m|•|y₁-y₂|•|y₁+y₂|=．
設，則m²=t²+2，．
求導可得，令S'=0，可得．
由于S（t）在上單調增，在上單調減．
所以，當即時，四邊形ABCD的面積S取得最大值．                     
此時，直線l的方程是．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、橢圓方程及直線的方程，考查三點共線及直線斜率，考查學生綜合運用所學知識分析解決問題的能力，本題綜合性強，所用知識點繁多，對能力要求高．