Question

設項數均為（）的數列、、前項的和分別為、、.已知集合=.
（1）已知，求數列的通項公式；
（2）若，試研究和時是否存在符合條件的數列對（，），并說明理由；
（3）若，對于固定的，求證：符合條件的數列對（，）有偶數對.

Answer 1

（1）；（2）時，數列、可以為（不唯一）6,12,16,14；2,8,10,4，時，數列對（，）不存在.（3）證明見解析．

試題分析：（1）這實質是已知數列的前項和，要求通項公式的問題，利用關系來解決；（2）時，可求出，再利用
=，可找到數列對（，）（注意結果不唯一），當時，由于，即，可以想象，若存在，則應該很大（體現在），研究發現（具體證明可利用二項展開式，
，注意到，展開式中至少有7項，故，下面證明這個式子大于，應該很好證明了），這不符合題意，故不存在；（3）可通過構造法說明滿足題意和數列對是成對出現的，即對于數列對（，），構造新數列對，（），則數列對（，）也滿足題意，（要說明的是及=且數列與，與不相同（用反證法，若相同，則，又，則有均為奇數，矛盾）．
試題解析：（1）時，
時，，不適合該式
故，                       4分
（2），
時，
                6分
當時，，，，
=
數列、可以為（不唯一）：
6,12,16,14；2,8,10,4    ②  16,10,8,14；12,6,2,4           8分
當時，


此時不存在.故數列對（，）不存在.                10分
另證：
當時，
（3）令，（）        12分

又=，得

=
所以，數列對（，）與（，）成對出現。         16分
假設數列與相同，則由及，得，，均為奇數，矛盾！
故，符合條件的數列對（，）有偶數對。               18分項和與的關系；（2）觀察法，二項展開式證明不等式；（3）構造法．