Question

已知c＞0且c≠1，設p：指數函數y=（2c-1）^x在R上為增函數，q：不等式x+（x-2c）²＞2的解集為R．若p∧q為假命題，p∨q為真命題，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：當p為真命題時，c＞1；當q為真命題時，c＞

9

8

．由p∧q為假命題，p∨q為真命題，知p真q假，或p假q真．由此能求出實數c的取值范圍．

解答：解：當p為真命題時，
∵函數y=（2c-1）^x在R上為增函數，∴2c-1＞1，
∴當p為真命題時，c＞1；
當q為真命題時，
∵不等式x+（x-2c）²＞2的解集為R，
∴當x∈R時，x²-（4c-1）x+（4c²-2）＞0恒成立，
∴△=（4c-1）²-4××（4c²-2）＜0，
∴-8c+9＜0，
∴當q為真命題時，c＞

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．
∵p∧q為假命題，p∨q為真命題，∴p真q假，或p假q真．
①當p真q假時，

c＞1 c≤ 9 8

，解得1＜c≤

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．
②當p假q真時，

0＜c＜1 c＞ 9 8

，解得c∈∅．
綜上所述，實數c的取值范圍是（1，

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]．

點評：本題考查實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，仔細解答，解題的關鍵是由p∧q為假命題，p∨q為真命題，得到p真q假，或p假q真．