Question

已知f（x）=x-（a>0），g（x）=2lnx+bx且直線y=2x－2與曲線y=g（x）相切．

（1）若對(duì)[1，+）內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x，小等式f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）當(dāng)a=l時(shí)，求最大的正整數(shù)k，使得對(duì)[e，3]（e=2．71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）內(nèi)的任意k個(gè)實(shí)數(shù)x₁，x₂，，x_k都有成立；

（3）求證：．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）的最大值為．

（3）當(dāng)時(shí)，根據(jù)（1）的推導(dǎo)有，時(shí)，，即．令，得，化簡(jiǎn)得，

。

【解析】

試題分析：（1）設(shè)點(diǎn)為直線與曲線的切點(diǎn)，則有．     （*）

，．  （**）

由（*）、（**）兩式，解得，．    2分

由整理，得，

，要使不等式恒成立，必須恒成立．   

設(shè)，，

，當(dāng)時(shí)，，則是增函數(shù)，

，是增函數(shù)，，．5分

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．      6分

（2）當(dāng)時(shí)，，

，在上是增函數(shù)，在上的最大值為．

要對(duì)內(nèi)的任意個(gè)實(shí)數(shù)都有

成立，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，

當(dāng)時(shí)不等式左邊取得最大值，時(shí)不等式右邊取得最小值．

，解得．

因此，的最大值為．                10分

（3）證明（法一）：當(dāng)時(shí)，根據(jù)（1）的推導(dǎo)有，時(shí)，，

即．        11分

令，得，   

化簡(jiǎn)得，        13分

．    14分

（法二）數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊=，

根據(jù)（1）的推導(dǎo)有，時(shí)，，即．

令，得，即．

因此，時(shí)不等式成立．                    11分

（另解：，，，即．）

假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即，

則當(dāng)時(shí),，

要證時(shí)命題成立，即證，

即證．

在不等式中，令，得           

．    

時(shí)命題也成立．              13分

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，可得不等式對(duì)一切成立． 14分

考點(diǎn)：函數(shù)的性質(zhì)；導(dǎo)數(shù)的幾何意義；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；數(shù)學(xué)歸納法。

點(diǎn)評(píng)：（1）本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用和數(shù)學(xué)歸納法等綜合知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算推理能力及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力及創(chuàng)新意識(shí)．對(duì)學(xué)生的能力要求較高，尤其是分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。（2）解決恒成立問(wèn)題常用變量分離法，變量分離法主要通過(guò)兩個(gè)基本思想解決恒成立問(wèn)題， 思路1：在上恒成立；思路2: 在上恒成立。