Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=x²-kx³．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數f（x）在區間（-∞，0）上的單調性；
（Ⅲ）若，設g（x）是函數f（x）在區間[0，+∞）上的導函數，問是否存在實數a，滿足a＞1并且使g（x）在區間上的值域為，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先設x＜0，得-x＞0，再利用七函數的定義f（x）=-f（-x）求出x＜0時對應的解析式，再與已知相結合即可求整個函數的解析式；
（Ⅱ）先由（Ⅰ）知當x∈（-∞，0）時，f（x）=-x²-kx³，求出其導函數以及導函數為0的根，利用導函數值的正負和原函數的關系即可判斷出函數的性；
（Ⅲ）先把代入求出g（x）=-（x-1）²+1，再利用二次函數在閉區間上的最值問題的求法與條件相結合得x=1時g（x）取得最大值1，最后利用最小值即可求出a的值．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=x²-kx³
∴當x＜0時，-x＞0，f（x）=-f（-x）=-（x²+kx³）
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）知當x∈（-∞，0）時，f（x）=-x²-kx³
當k=0時，f'（x）=-2x，在區間（-∞，0）上，f'（x）＞0，f（x）是增函數．
當k≠0∴
∴在區間是減函數；
在區間（-，0）上，f'（x）＞0，f（x）是增函數．
（Ⅲ）∵，當
∴g（x）=f'（x）=2x-x²=-（x-1）²+1，
又∵a＞1．
∴上，當x=1時g（x）取得最大值1
當
當，
由（舍）或a=1（舍）
∴存在滿足題意的實數．
點評：本題主要考查函數的奇偶性與單調性以及二次函數在不固定閉區間上的最值問題，二次函數在不固定閉區間上的最值問題，一般是根據對稱軸和閉區間的位置關系來進行分類討論，如軸在區間左邊，軸在區間右邊，軸在區間中間，最后在綜合歸納得出所需結論