Question

【題目】已知函數（）.

（1）若函數有兩個零點，求實數a的取值范圍

（2）證明：

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）令，得到，令，，利用導數求得函數的單調性與最小值，要使函數有兩個零點，則函數的圖象與有兩個不同的交點，即可求解；

（2）要證明，只需，令，利用導數求得函數的的單調性與最值，即可求解.

（1）由題意，函數的定義域為，

令，則，

記，，

則，令，得，

當時，，單調遞減，

當時，，單調遞增，

所以有最小值，且為，

又當時，；當時，，

所以要使函數有兩個零點，則函數的圖象與有兩個不同的交點，

則，即實數a的取值范圍為.

（2）由（1）知，函數有最小值為，可得，

當且僅當時取等號，

因此要證明，

即只需要證明，

記，則，

令，得.

當時，，單調遞增，

當時，，單調遞減，

所以，

即恒成立，當且僅當時取等號，

所以，當且僅當時取等號.