Question

【題目】已知函數（為自然對數的底數），.

（1）當時，求函數的極小值；

（2）若當時，關于的方程有且只有一個實數，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）0；（2）.

【解析】

（1）求出導函數，由導數確定單調性，然后得極值；

（2）設，求出導數，對再求導，以確定的單調性和正負，是的最小值，分類討論，若，易知結論成立，當時，說明存在，使得，然后得的單調性，確定有兩個零點，不滿足題意．從而得出的范圍．

解：（1）當時，，

令，則列表如下：

		1
	-	0	+
	單調遞減	極小值	單調遞增

所以；

（2）設

，

設，

由得，在單調遞增，

即在單調遞增，，

①當，即時，時，，在單調遞增，

又，故當時，關于的方程有且只有一個實數解.

②當，即時，由（1）可知，

所以，又，

故，當時，單調遞減，又，

故當時，，

在內，關于的方程有一個實數解1，

又時，單調遞增，

且，令，

，故在單調遞增，又

，

∴當時，，∴在單調遞增，故，故，

又，由零點存在定理可知，，

故在內，關于的方程有一個實數解，

又在內，關于的方程有一個實數解1，

綜上，.