Question

已知定直線l：x=1和定點M（t，0）（t∈R），動點P到M的距離等于點P到直線l距離的2倍．
（1）求動點P的軌跡方程，并討論它表示什么曲線；
（2）當t=4時，設點P的軌跡為曲線C，過點M作傾斜角為θ（θ＞0）的直線交曲線C于A、B兩點，直線l與x軸交于點N．若點N恰好落在以線段AB為直徑的圓上，求θ的值．

Answer 1

分析：（1）設P（x，y），則由題意得

(x-t)2+y2

=2|x-1|，化簡得3x²-y²+2（t-4）x+4-t²=0，由此能夠確定動點P的軌跡方程和它表示的曲線．
（2）當t=4時，C：

x2

4

-

y2

12

=1，M（4，0），N（1，0）．由題意知 NA⊥NB，所以

NA

•

NB

=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則當AB與x軸垂直時，不合題意；當AB與x軸不垂直時，設AB：y=k（x-4），代入雙曲線方程并整理得：（3-k²）x²+8k²x-16k²-12=0，由此能夠求出θ的值．

解答：解：（1）設P（x，y），則由題意得

(x-t)2+y2

=2|x-1|，
化簡得3x²-y²+2（t-4）x+4-t²=0，
3(x+

t-4

3

)2-y2=

(t-1)2

3

，…（4分）
當t=1時，化簡得 y=±

3

（x-1），表示兩條直線；
當t≠1時，表示焦點在x軸上的雙曲線．…（6分）；
（2）當t=4時，C：

x2

4

-

y2

12

=1，M（4，0），N（1，0）．
由題意知 NA⊥NB，
所以

NA

•

NB

=0，…（8分）；
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則當AB與x軸垂直時，

NA

•

NB

≠0，不合題意；
當AB與x軸不垂直時，設AB：y=k（x-4），代入雙曲線方程并整理得：
（3-k²）x²+8k²x-16k²-12=0，
由

NA

•

NB

=0得（x₁-1）（x₂-2）+y₁y₂=0
所以  （k²+1）x₁x₂-（4k²+1）（x₁+x₂）+16k²+1=0，
化簡整理得k²=

1

3

，
所以k=±

3 3

3

，…（11分）
經檢驗，均符合題意．
所以θ=30°或150°．…（12分）

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．