Question

【題目】已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

分類討論當(dāng)a≥0時(shí)，容易判斷出不符合題意；當(dāng)a＜0時(shí)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和極值之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為求極小值大于0即可．

當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）＝﹣3x2+1＝0，解得x＝±，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，舍去；

當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）＝3ax2﹣6x＝3ax（x﹣）＝0，解得x＝0或x＝＞0，列表如下：

x	（﹣∞，0）	0	（0，）		(，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

∵x→﹣∞，f（x）→﹣∞，而f（0）＝1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）＝0，

不符合f（x）存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0＞0，舍去．

當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）＝3ax2﹣6x＝3ax（x﹣）＝0，解得x＝0或x＝＜0，列表如下：

x	(﹣∞,）		（，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	﹣	0	+	0	﹣
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

而f（0）＝1＞0，x→+∞時(shí)，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）＝0，

∵f（x）存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0＞0，∴極小值f（）＝a（）3﹣3（）2+1＞0，

解得a2＞4，∵a＜0，∴a＜﹣2．

綜上可知：a的取值范圍是（﹣∞，﹣2）．

故選：C．