Question

【題目】如圖，∠BAC= ，P為∠BAC內部一點，過點P的直線與∠BAC的兩邊交于點B，C，且PA⊥AC，AP= ．
（Ⅰ）若AB=3，求PC；
（Ⅱ）求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）在△PAB中，由余弦定理知PB2=AP2+AB2﹣2APABcos =3，得PB= =AP， 則∠BPA= ，∠APC= ，
在Rt△APC中，PC= =2 ，
（Ⅱ）因為∠APC=θ，則∠ABP=θ﹣ ，
在Rt△APC中，PC= ，
在△PAB中，由正弦定理知 = ，得PB= ，
于是 + = + = =sinθ，
由題意知 ＜θ＜ ，
故 ＜sinθ＜1，
即 + 的取值范圍為（ ，1）
【解析】（Ⅰ）根據余弦定理求出PB的長，再解直角三角形即可求出答案，（Ⅱ）根據正弦定理得PB= ，在Rt△APC中，PC= ，繼而得到于是 + =sinθ，根據正弦函數的圖象和性質即可求出答案．