Question

（2012•石景山區一模）已知函數f（x）=x²+2alnx．
（Ⅰ）若函數f（x）的圖象在（2，f（2））處的切線斜率為1，求實數a的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅲ）若函數g(x)=

2

x

+f(x)在[1，2]上是減函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先對函數求導，然后由由已知f'（2）=1，可求a
（II）先求函數f（x）的定義域為（0，+∞），要判斷函數的單調區間，需要判斷導數f′(x)=2x+

2a

x

=

2x2+2a

x

的正負，分類討論：分（1）當a≥0時，（2）當a＜0時兩種情況分別求解
（II）由g（x）可求得g′（x），由已知函數g（x）為[1，2]上的單調減函數，可知g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，即a≤

1

x

-x2在[1，2]上恒成立，要求a的范圍，只要求解h(x)=

1

x

-x2，在[1，2]上的最小值即可

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=2x+

2a

x

=

2x2+2a

x

…（1分）
由已知f'（2）=1，解得a=-3．…（3分）
（II）函數f（x）的定義域為（0，+∞）．
（1）當a≥0時，f'（x）＞0，f（x）的單調遞增區間為（0，+∞）；  …（5分）
（2）當a＜0時f′(x)=

2(x+ -a )(x- -a )

x

．
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下：

x	(0， -a )	-a	( -a ，+∞)
f'（x）	-	0	+
f（x）		極小值

由上表可知，函數f（x）的單調遞減區間是(0，

-a

)；
單調遞增區間是(

-a

，+∞)．…（8分）
（III）由g(x)=

2

x

+x2+2alnx得g′(x)=-

2

x2

+2x+

2a

x

，…（9分）
由已知函數g（x）為[1，2]上的單調減函數，
則g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，
即-

2

x2

+2x+

2a

x

≤0在[1，2]上恒成立．
即a≤

1

x

-x2在[1，2]上恒成立．…（11分）
令h(x)=

1

x

-x2，在[1，2]上h′(x)=-

1

x2

-2x=-(

1

x2

+2x)＜0，
所以h（x）在[1，2]為減函數.h(x) min=h(2)=-

7

2

，
所以a≤-

7

2

．…（14分）

點評：本題主要考查了函數的導數的求解，利用導數判斷函數的單調區間，體現了分類討論思想的應用，及函數的恒成立與函數的最值求解的相互轉化思想的應用．