Question

（03年北京卷理）（13分）

已知動圓過定點P（1，0），且與定直線相切，點C在l上.

   （Ⅰ）求動圓圓心的軌跡M的方程；

   （Ⅱ）設過點P，且斜率為－的直線與曲線M相交于A，B兩點.

        （i）問：△ABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標；若不能，說明理由；

        （ii）當△ABC為鈍角三角形時，求這種點C的縱坐標的取值范圍.

Answer 1

解析: （Ⅰ）依題意，曲線M是以點P為焦點，直線l為準線的拋物線，所以曲線M的方程為.

（Ⅱ）（i）由題意得，直線AB的方程為

消y得

所以A點坐標為，B點坐標為（3，），

假設存在點C（－1，y），使△ABC為正三角形，則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即

①   ②

   

由①－②得

但不符合①，所以由①，②組成的方程組無解.

因此，直線l上不存在點C，使得△ABC是正三角形.

（ii）解法一：

設C（－1，y）使△ABC成鈍角三角形，

由，

即當點C的坐標為（－1，）時，A，B，C三點共線，故.

又，

  ，    .

   當，即，

 即為鈍角.

 當，即，

即為鈍角.

 又，即，

 即.   該不等式無解，所以∠ACB不可能為鈍角.

 因此，當△ABC為鈍角三角形時，點C的縱坐標y的取值范圍是.

 解法二：

 以AB為直徑的圓的方程為.

 圓心到直線的距離為，

 所以，以AB為直徑的圓與直線l相切于點G.

 當直線l上的C點與G重合時，∠ACB為直角，當C與G

 點不重合，且A，B，C三點不共線時， ∠ACB為銳角，即△ABC中∠ACB不可能是鈍角.

 因此，要使△ABC為鈍角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA為鈍角.

 過點A且與AB垂直的直線方程為.

 過點B且與AB垂直的直線方程為. 令.

 又由，所以，當點C的坐標為（－1，）時，A，B，C三點共線，不構成三角形.

 因此，當△ABC為鈍角三角形時，點C的縱坐標y的取值范圍是