【題目】近年電子商務蓬勃發展， 
年某網購平臺“雙
”一天的銷售業績高達
億元人民幣，平臺對每次成功交易都有針對商品和快遞是否滿意的評價系統.從該評價系統中選出
次成功交易，并對其評價進行統計，網購者對商品的滿意率為
，對快遞的滿意率為
，其中對商品和快遞都滿意的交易為
次.
（1）根據已知條件完成下面的
列聯表，并回答能否有
的把握認為“網購者對商品滿意與對快遞滿意之間有關系”？
對快遞滿意 | 對快遞不滿意 | 合計 | |
對商品滿意 |
| ||
對商品不滿意 | |||
合計 |
|
（2）為進一步提高購物者的滿意度，平臺按分層抽樣方法從中抽取
次交易進行問卷調查，詳細了解滿意與否的具體原因，并在這
次交易中再隨機抽取
次進行電話回訪，聽取購物者意見.求電話回訪的
次交易至少有一次對商品和快遞都滿意的概率.
附： 
（其中
為樣本容量）
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【答案】(1)答案見解析；(2) 
.
【解析】試題分析：(1)由題意得n=200,再由滿意率可求得a,b,c,d填入
列聯表，算卡方與數據
對比。（2）抽取的
次交易中，對商品和快遞都滿意的交易有
次記為
，其余
次不是都滿意的交易記為
,由枚舉法和古典概型可求得概率。
試題解析;（1）
列聯表：
對快遞滿意 | 對快遞不滿意 | 合計 | |
對商品滿意 |
|
|
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對商品不滿意 |
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|
合計 |
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，
由于
，所以沒有
的把握認為“網購者對商品滿意與對快遞滿意之間有關系”.
（2）根據題意，抽取的
次交易中，對商品和快遞都滿意的交易有
次記為
，其余
次不是都滿意的交易記為
.那么抽取
次交易一共有
種可能： 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
，…… 
.其中
次交易對商品和快遞不是都滿意的有
種： 
， 
，……， 
.所以，在抽取的
次交易中，至少一次對商品和快遞都滿意的概率是
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】廟會是我國古老的傳統民俗文化活動,又稱“廟市”或 “節場”.廟會大多在春節、元宵節等節日舉行.廟會上有豐富多彩的文化娛樂活動,如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一顆金蛋,如果有獎品,則“中獎”）.今年春節期間,某校甲、乙、丙、丁四位同學相約來到某廟會,每人均獲得砸一顆金蛋的機會.游戲開始前,甲、乙、丙、丁四位同學對游戲中獎結果進行了預測,預測結果如下:
甲說:“我或乙能中獎”； 乙說:“丁能中獎”；
丙說:“我或乙能中獎”； 丁說:“甲不能中獎”.
游戲結束后,這四位同學中只有一位同學中獎,且只有一位同學的預測結果是正確的,則中獎的同學是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
，直線
不過原點O且不平行于坐標軸， 
與
有兩
個交點A、B，線段AB的中點為M.
（1）若
，點K在橢圓
上， 
、
分別為橢圓的兩個焦點，求
的范圍；
（2）證明：直線
的斜率與
的斜率的乘積為定值；
（3）若
過點
，射線OM與
交于點P，四邊形
能否為平行四邊形？
若能，求此時
的斜率；若不能，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
， 
（Ⅰ）當
時，求函數
的單調遞減區間；
（Ⅱ）若
時，關于
的不等式
恒成立，求實數
的取值范圍；
（Ⅲ）若數列
滿足
， 
，記
的前
項和為
，求證： 
.
【答案】（I）
；（II）
；（III）證明見解析.
【解析】試題分析：（Ⅰ）求出
，在定義域內，分別令
求得
的范圍，可得函數
增區間， 
求得
的范圍，可得函數
的減區間；（Ⅱ）當
時，因為
，所以
顯然不成立，先證明因此
時， 
在
上恒成立，再證明當
時不滿足題意，從而可得結果；（III）先求出等差數列的前
項和為
，結合（II）可得
，各式相加即可得結論.
試題解析：（Ⅰ）由
，得
.所以
令
，解得
或
（舍去），所以函數
的單調遞減區間為 
.
（Ⅱ）由
得， 
當
時，因為
，所以
顯然不成立，因此
.
令
，則
，令
，得
.
當
時， 
， 
，∴
，所以
，即有
.
因此
時， 
在
上恒成立.
②當
時， 
， 
在
上為減函數，在
上為增函數，
∴
，不滿足題意.
綜上，不等式
在
上恒成立時，實數
的取值范圍是
.
（III）證明：由
知數列
是
的等差數列，所以
所以
由（Ⅱ）得， 
在
上恒成立.
所以
. 將以上各式左右兩邊分別相加，得
.因為
所以
所以
.
【題型】解答題
【/span>結束】
22
【題目】已知直線
， (
為參數， 
為傾斜角).以坐標原點為極點， 
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的直角坐標方程為
.
（Ⅰ）將曲線
的直角坐標方程化為極坐標方程；
（Ⅱ）設點
的直角坐標為
，直線
與曲線
的交點為
、
，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某名校從
年到
年考入清華，北大的人數可以通過以下表格反映出來。（為了方便計算，將年編號為
，
年編為
，以此類推……）
年份 |
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人數 |
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（1）將這
年的數據分為人數不少于
人和少于人兩組，按分層抽樣抽取
年，問考入清華、北大的人數不少于20的應抽多少年？在抽取的這年里，若隨機的抽取兩年恰有一年考入清華、北大的人數不少于的概率是多少？；
（2）根據最近年的數據，利用最小二乘法求出與之間的線性回歸方程，并用以預測
年該校考入清華、北大的人數。（結果要求四舍五入至個位）
參考公式：
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某商場在一部向下運行的手扶電梯終點的正上方豎直懸掛一幅廣告畫．如圖，該電梯的高AB為4米，它所占水平地面的長AC為8米．該廣告畫最高點E到地面的距離為10.5米，最低點D到地面的距離6.5米．假設某人的眼睛到腳底的距離MN為1.5米，他豎直站在此電梯上觀看DE的視角為θ．
（1）設此人到直線EC的距離為x米，試用x表示點M到地面的距離；
（2）此人到直線EC的距離為多少米時，視角θ最大？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知三棱錐O-ABC的三條側棱OA,OB,OC兩兩垂直， 
為等邊三角形， 
為
內部一點，點
在
的延長線上，且PA=PB．
（Ⅰ）證明：OA=OB；
（Ⅱ）證明：平面PAB平面POC．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，GH是東西方向的公路北側的邊緣線，某公司準備在GH上的一點B的正北方向的A處建設一倉庫，設
，并在公路北側建造邊長為
的正方形無頂中轉站CDEF（其中EF在GH上），現從倉庫A向GH和中轉站分別修兩條道路AB,AC,已知AB=AC+1，且
.
（1）求
關于
的函數解析式，并求出定義域；
（2）如果中轉站四堵圍墻造價為10萬元/km,兩條道路造價為30萬元/km,問：取何值時，該公司建設中轉站圍墻和兩條道路總造價M最低.
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