Question

數列{a_n}前n項和為S_n，首項為x（x∈R），滿足S_n=（n∈N^*）
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）是否存在x（x∈R），使（其中k是與正整數n無關的常數），若存在，求出x與k的值，若不存在，說明理由；
（3）求證：x為有理數的充要條件是數列{a_n}中存在三項構成等比數列．

Answer 1

解：由S_n=（n∈N^*）得由S_n+1=
故可得a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n-n∴a_n+1-a_n=1，即數列{a_n}是等差數列，首項為x公差為1，∴a_n=x+（n-1）（n∈N^*）
（2）由題意S_n=kS_2n，即xn+n（n-1）=k（2xn+n（2n-1）），整理得（1-4k）n-（2x-1）（2k-1）=0，當x=，k=時，該式恒成立即：當x=時，，∴x=，k=即為所求
（3））證明：充分性若三個不同的項x+i，x+j，x+k成等比數列，且i＜j＜k
則（x+j）²=（x+i）（x+k），即x（i+k-2j）=j²-ik
若i+k-2j=0，則j²-ik=0，∴i=j=k與i＜j＜k矛盾．i+k-2j≠0
∴x=，且i，j，k都是非負數，∴x是有理數；
必要性：若x是有理數，且x≤0，則必存在正整數k，使x+k＞0，令y=x+k，則正項數列y，y+1，y+2…是原數列
x，x+1，x+2…的一個子數列，只要正項數列y，y+1，y+2…中存在三個不同的項構成等比數列則原數列中必有3個不同項構成等比數列，
不失一般性，不妨設x＞0，記x=（m，n∈N^*，且m，b互質），又設k，l∈N^*，l＞k，且x，x+k，x+l成等比數列，則（x+k）²=x（x+l）?2k+，為使l為整數，可令k=2n，于是l=2n+mn=n（m+2），可知x，x+n，x+n（m+2），成等比數列，證畢
分析：（1）由S_n=（n∈N^*）得由S_n+1=，由此兩方程得出a_n+1-a_n=1，即數列{a_n}是等差數列，由等差數列的通項公式寫出數列的通項；
（2）假設存在，由題意S_n=kS_2n，即xn+n（n-1）=k（2xn+n（2n-1）），整理得（1-4k）n-（2x-1）（2k-1）=0進行判斷即可得到x與k的值
（3）由充要條件的證明方法，先證充分性，再證必要性即可．
點評：本題考查數列的遞推式，解題的關鍵是充分利用遞推式的恒成立的特性，通過恒等變形得到數列的性質，從而求出數列的通項，本題第三問涉及到了充要條件的證明，要注意其證明格式．本題比較抽象，運算量大，運算變形時要認真嚴謹．