Question

【題目】已知函數(shù)在處的切線的斜率為1.

（1）如果常數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；

（2）對于，如果方程在上有且只有一個解，求的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得，得到，進(jìn)而可得導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，分析導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律可得函數(shù)單調(diào)性，最后根據(jù)k與e大小關(guān)系討論單調(diào)性，進(jìn)而確定最大值（2）變量分離得，利用導(dǎo)數(shù)研究圖像，根據(jù)數(shù)形結(jié)合可得時有且只有一個解，即得的值

試題解析：解：（1）由得，因為，所以，從而．

所以，令得．所以當(dāng)時， ，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時， ，函數(shù)單調(diào)遞減．

因此如果，則函數(shù)的最大值為；

如果，則函數(shù)的最大值為．

（2）因為 ，令，則方程在上有且只有一個解等價于函數(shù)在上有且只有一個零點(diǎn)．

因為，令，則（舍去），，所以當(dāng)時， ， 單調(diào)遞減；當(dāng)時， ， 單調(diào)遞增．

因此在時取到最小值，由題意知，從而有，又，所以，因為，

所以，令，則當(dāng)時單調(diào)遞增，且，所以，由此可得．

（解法二）由得

設(shè)，則 ，由于單調(diào)遞減且，所以時單調(diào)遞增， 時單調(diào)遞減

方程在上有且只有一個解等價于。故．